FDM-datengesteuertes U

Jul 08, 2023

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 9116 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Die effiziente Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs) physikalischer Gesetze ist für vielfältige Anwendungen in der Informatik und Bildanalyse von Interesse. Herkömmliche Domänendiskretisierungstechniken zur numerischen Lösung von PDEs wie Finite-Differenzen- (FDM) und Finite-Elemente-Methoden (FEM) sind jedoch für Echtzeitanwendungen ungeeignet und zudem recht mühsam in der Anpassung an neue Anwendungen, insbesondere für Nicht-Experten in numerischer Mathematik und Computermodellierung. In jüngerer Zeit haben alternative Ansätze zur Lösung von PDEs mithilfe sogenannter physikalisch informierter neuronaler Netze (PINNs) aufgrund ihrer unkomplizierten Anwendung auf neue Daten und potenziell effizienterer Leistung zunehmend Beachtung gefunden. In dieser Arbeit präsentieren wir einen neuartigen datengesteuerten Ansatz zur Lösung von 2D-Laplace-PDE mit beliebigen Randbedingungen unter Verwendung von Deep-Learning-Modellen, die auf einer großen Menge von Referenz-FDM-Lösungen trainiert wurden. Unsere experimentellen Ergebnisse zeigen, dass sowohl vorwärts gerichtete als auch inverse 2D-Laplace-Probleme mit dem vorgeschlagenen PINN-Ansatz effizient gelöst werden können, mit nahezu Echtzeitleistung und einer durchschnittlichen Genauigkeit von 94 % für verschiedene Arten von Randwertproblemen im Vergleich zu FDM. Zusammenfassend bietet unser Deep-Learning-basierter PINN-PDE-Löser ein effizientes Werkzeug mit verschiedenen Anwendungen in der Bildanalyse und rechnerischen Simulation bildbasierter physikalischer Randwertprobleme.

Rasante Fortschritte in der biomedizinischen Bildgebung führen zur Erzeugung immer größerer Mengen an Bilddaten. In vielen Anwendungen beschränkt sich die Bildanalyse hauptsächlich auf die Ableitung relativ einfacher quantitativer Deskriptoren von Zielstrukturen wie Farbe, Volumen, Fläche und Form. Bildserien können jedoch auch tiefere Einblicke in die zugrunde liegenden physikalischen Eigenschaften und Verhaltensweisen liefern, die hinter dynamischen Veränderungen optisch überwachter biologischer Strukturen stehen1,2,3.

Im Allgemeinen erfordert eine konsistente physikbasierte Modellierung eine numerische Lösung eines Randwertproblems (BVP), das durch die maßgebliche partielle Differentialgleichung (PDE) oder das Stoffgesetz (z. B. Gleichungen der Kontinuumsmechanik, Fluiddynamik, Diffusion) gegeben und vorgeschrieben ist Randbedingungen. Für diese Aufgabe wurden im Zusammenhang mit biomedizinischen Anwendungen häufig herkömmliche Domänendiskretisierungstechniken wie Finite Differenzen (FDM)4, Finite Elemente (FEM)5, Randelemente (BEM)6 und netzfreie Methoden7 verwendet8,9. Herkömmliche numerische Techniken sind jedoch nicht für Echtzeitanwendungen geeignet und erfordern zudem fortgeschrittene Fähigkeiten zur Anpassung an neue Daten und Forschungsziele. Um den Rechenaufwand herkömmlicher numerischer Löser zu reduzieren, wurden mehrere Ansätze untersucht, darunter Ersatz10,11, Modellordnungsreduktion12,13,14,15,16,17 oder Mehrgittertechniken18,19,20. Obwohl diese fortschrittlichen Methoden in der Lage sind, die Rechenkosten zu senken, erfassen sie nicht das gesamte Spektrum an Rechenaufgaben, einschließlich Echtzeit-, inverser und/oder nichtlinearer Probleme, die in vielen interdisziplinären und insbesondere biomedizinischen Bereichen noch nicht zufriedenstellend gelöst werden Anwendungen. In den letzten Jahren erfreuten sich alternative Ansätze zur Lösung physikalischer und bildbasierter BVPs mithilfe datengesteuerter neuronaler Netzwerkmodelle zunehmender Beliebtheit. Die sogenannten Physically Informed Neural Networks (PINNs)21, die auf einer großen Menge repräsentativer Daten trainiert werden, lernen, komplexe physikalische Zusammenhänge direkt aus Daten abzuleiten. Bei einer ausreichenden Menge verfügbarer Daten können PINNs eine Zuordnung zwischen den Eingabe- und Ausgabedaten (z. B. Quell- und Zielbildern) erstellen, ohne die physikalischen Gesetze direkt in neuronale Netze einzubetten. PINNs sind in der Lage, eine der größten technischen Hürden der numerischen Modellierung, eine mühsame und fehleranfällige Diskretisierung komplexer räumlich-zeitlicher Domänen, zu überwinden und versprechen, die Lücke zwischen großen Datenmengen und anspruchsvoller, mechanismusbasierter Modellierung nahezu in Echtzeit zu schließen Leistung. Darüber hinaus umfasst das Anwendungsspektrum von PINNs nicht nur Vorwärtsprobleme, sondern auch noch rechenintensivere inverse Probleme21,22,23,24,25,26. In den letzten Jahren wurde über viele Ansätze zur datengesteuerten Approximation physikalischer Mechanismen mithilfe tiefer neuronaler Netze berichtet18,19,27,28,29,30 und Arbeiten19,30 untersuchen das Problem mithilfe von CNNs. Es ist bekannt, dass Convolutional Neural Networks (CNNs)31 im Vergleich zu herkömmlichen Methoden und spärlichen neuronalen Netzwerktechniken eine überlegene Leistung zeigen, insbesondere bei der Anwendung auf Computer-Vision-Probleme, die kognitive Fähigkeiten höherer Ordnung erfordern. Die Deep-Learning-Codierungsplattformen wie Tensorflow, PyTorch und Keras sind in der KI-Community mittlerweile weit verbreitet.

Allerdings sind die meisten bekannten PINN-Frameworks meist mit den speziellen Softwareplattformen DeepXDE32, Nvidia SimNet33, NeuroDiffEq34 verfügbar, denen es an flexibler Definition und Lösung physikalischer BVPs auf beliebigen Bilddomänen mangelt. Die GPU-basierten numerischen Simulationsplattformen, die auf herkömmlichen Ansätzen wie NiftySim35 und SoFa36 basieren, sind anwendungsspezifisch und erfordern unterschiedliche Implementierungen für unterschiedliche Probleme.

In dieser Arbeit wollen wir die Fähigkeit von Deep-Learning-Methoden untersuchen, ein bild- und physikbasiertes BVP mit beliebigen Randbedingungen effektiv zu lösen. Insbesondere stützen wir uns hier auf die grundlegende Netzwerkarchitektur von U-Net, die ursprünglich für ein breites Spektrum von Bildsegmentierungsproblemen entwickelt wurde37. Im Gegensatz zu Bildsegmentierungsproblemen impliziert die Lösung physikalischer BVPs Mehrklassen- oder allgemeiner Optimierungsprobleme. Infolgedessen wurden zwei Modifikationen des U-Net mit Mehrklassen- und benutzerdefinierten Verlustfunktionen eingeführt und auf einer großen Menge von Referenz-FDM-Lösungen der 2D-Laplace-PDE trainiert.

Unser Manuskript stellt einen theoretischen und experimentellen Rahmen dafür dar und ist wie folgt strukturiert. Zunächst beschreiben wir das numerische FDM-Schema, das zur Lösung von 2D-Laplace-Problemen und zur Generierung eines großen Satzes von Referenzbildern für das anschließende Training von Deep-Learning-Modellen verwendet wurde. Anschließend werden die Ergebnisse der Leistung des PINN-Modells nach Anwendung auf Vorwärts- und Invers-2D-Laplace-Probleme vorgestellt und mit den Referenz-FDM-Lösungen verglichen. Unsere experimentellen Ergebnisse zeigen, dass unsere PINN-Modelle in der Lage sind, herkömmlichen numerischen Lösungen für neue, unsichtbare Daten mit bemerkenswerter Genauigkeit zu ähneln. Abschließend werden aktuelle Einschränkungen und weitere Verbesserungen unserer PINN-Ansätze diskutiert.

In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf die Lösung der 2D-Laplace-partiellen Differentialgleichung (PDE), die in der mathematischen Physik durch die Beschreibung von Problemen der Wärmeausbreitung und -diffusion entsteht. Die 2D-Laplace-PDE gehört zur Kategorie der elliptischen PDEs zweiter Ordnung:

Dabei ist \(u=u(x,y)\) eine Skalarvariable, die in einem zweidimensionalen räumlichen Bereich definiert ist, und somit im Allgemeinen eine Funktion der Koordinaten. Nichttriviale Lösungen von Gl. (1) mit den rechten Nullseiten existieren nur, wenn auf einigen Teilen des räumlichen Bereichs \(\Omega _D \in \Omega\) Nicht-Null-Werte von \(u = u_{D} \ne 0\) definiert sind. ). Oftmals werden die vorgeschriebenen Werte von u an einigen äußeren oder inneren Grenzen definiert (\Gamma \subset \Omega\). Solche Randbedingungen werden als Dirichlet-Randbedingungen bezeichnet. Das Problem, für die gegebenen Randbedingungen eine Lösung der PDE zu finden, wird als Randwertproblem (BVP) bezeichnet.

Analytische Lösungen von Gl. (1) sind nur für einige räumliche Fälle besonders einfacher (symmetrischer) Randbedingungen bekannt. Ein solcher Sonderfall ist eine Lösung der inhomogenen Laplace-PDE mit der rechten Seite in Form der Dirac-Punktfunktion:

wobei \(r(x,y)-r'(x',y')\) ein Vektor ist, der von der Koordinate \((x',y')\), an der der Dirac-Impuls angelegt wurde, auf eine andere zeigt Koordinate (x, y) des unendlichen 2D-Bereichs \(\Omega\). Die Lösung von Gl. (2) Auch bekannt als die grundlegende Lösung der 2D-Laplace-PDE ist gegeben durch38

Der durch Gl. definierte BVP. (1) mit beliebigen Randbedingungen kann im Allgemeinen nur numerisch gelöst werden.

In dieser Arbeit wird zu diesem Zweck die Finite-Differential-Methode auf das reguläre 2D-Bildgitter angewendet. Insbesondere approximiert FDM die Ableitungen durch Differenzen zwischen den Variablenwerten zwischen benachbarten Gitterknoten, d. h

Dementsprechend nimmt die FDM-Gleichung der 2D-Laplace-PDE zweiter Ordnung auf dem regulären Gitter von Bildknoten (d. h. Pixeln) die Form an:

wobei (i, j) Indizes von Bildpixeln im euklidischen Koordinatensystem (XY) sind. Berücksichtigung von Gl. (5) für alle Bildpixel führt zu einem linearen Gleichungssystem für unbekannte Knotenwerte \(u_{ij}\), das nach Implementierung bekannter Knotenwerte (dh vorgeschriebener Dirichlet-Randbedingungen) kompakt in Matrixform geschrieben werden kann als folgt:

Dabei ist A eine symmetrische und positiv definite Matrix und b der Vektor auf der rechten Seite, der sich aus der Implementierung bekannter Werte von u ergibt.

In dieser Arbeit wird die FDM-Diskretisierung von Gl. (5), dessen Zusammenbau in Gl. (6), gefolgt von einer anschließenden numerischen Lösung unter Verwendung der PCG-Methode (Precondition Conjugate Gradient), wurde unter MATLAB 2021a implementiert. Der wie oben beschrieben implementierte FDM-Löser wurde zunächst durch einen direkten Vergleich mit der exakten analytischen Lösung der 2D-Laplace-PDE [dh der Grundlösung in Gl. (3)] ​​und dann zur Lösung beliebiger Randbedingungen von BVPs angewendet.

Um das PINN-Modell entsprechend zu trainieren, um Lösungen der 2D-Laplace-PDE für beliebige Randbedingungen genau zu emulieren, muss ein großer Satz paarweiser Referenz-BVP-Bilder und ihrer FDM-Lösungen generiert werden. Zu diesem Zweck wurde eine Reihe von BVP-Bildern mit unterschiedlichen geometrischen Mustern von Dirichlet-Domänen und Verteilungen vorgeschriebener Werte auf diesen Subdomänen erstellt. Für die Definition unterschiedlicher geometrischer Muster wurden unterschiedliche Formprimitive wie Kleckse, Punkte, Linien, Dreiecke, Rechtecke, Kreise usw. sowie deren zufällige Variationen und Störungen von Maßstab und Ort verwendet. Im nächsten Schritt wurden den Pixeln jedes geometrischen Musters vorgeschriebene Werte von \(u\in [25,255]\) zugewiesen. Bei der Konstruktion der Verteilung der vorgeschriebenen Werte wurden verschiedene Störungsstrategien verwendet. Erstens basiert die Strategie auf der Generierung konstanter, Gradienten- oder Zufallswerte. Der nächste Einflussfaktor auf die Verteilung war die Randomisierung der Parameter dieser Verteilungen. Beispielsweise wurden im Fall von Gradientenmustern die Richtung und die Größe des Gradienten innerhalb eines Bereichs einiger zulässiger Grenzen randomisiert.

Unser Ansatz zur Emulation von 2D-Laplace-PDE mithilfe eines PINN-Modells basiert auf der Anpassung des U-Net-Bildsegmentierungsframeworks. Im Gegensatz zu typischen Bildsegmentierungsaufgaben erfordert die Lösung kontinuierlicher physikalischer BVPs jedoch die Einführung geeigneter Verlustfunktionen. Hier verwenden und untersuchen wir die Leistung von U-Net mit zwei alternativen Verlustfunktionen, einschließlich (i) Multi-Class Sparse Categorical Entropy (SCE) (Gleichung 7) und (ii) dem Mean Squared Error (MSE) (Gleichung 8). ):

Dabei gibt \(z_{i,j}\) an, ob das i-te Pixel für die gegebene Klassenbezeichnung j korrekt klassifiziert ist, \(p_{i,j}\) ist der Konfidenzwert der Klassifizierung, N ist die Zahl der Pixel und M ist die Anzahl der Klassen und

Dabei ist \(q_i^*\) der Ground-Truth-Wert für das i-te Bildpixel, \(q_i\) der vorhergesagte Wert für den gegebenen Netzwerkparameter \(\theta\) und N die Anzahl der Bildpixel. Dementsprechend werden diese beiden U-Net-Modifikationen im Folgenden MC U-Net und MSE U-Net genannt.

Darüber hinaus muss die gesamte U-Net-Architektur geändert werden, um durch die Lösung physischer BVPs eine gute Leistung zu erzielen. Die Änderungen des ursprünglichen U-Net sind wie folgt. Die Dropout-Schichten wurden in unserer Studie durch Batch-Normalisierungsschichten ersetzt. Die Batch-Normalisierung standardisiert die Eingabe für jeden Mini-Batch, was die Stabilität und Geschwindigkeit des Modelltrainings erhöht. Ohne Batch-Normalisierung versuchen die verborgenen Schichten, sich an die neue Verteilung anzupassen, wenn sich die Eingabeverteilung des Modells ändert, was zu einer internen Kovariatenverschiebung führt39. Die in dieser Arbeit eingeführten Änderungen der U-Net-Architektur sind in Tabelle 1 zusammengefasst.

Vorwärtsmodelle werden trainiert, um die FDM-Lösungen von BVPs vorherzusagen, die durch die 2D-Laplace-PDE mit vorgeschriebenen Randbedingungen gegeben werden. Für das Training von Vorwärtsmodellen wurden die Eingabedaten durch synthetische BVP-Bilder definiert, die wie oben beschrieben generiert wurden, während die Ausgabedaten durch eine FDM-Lösung von BVP-Bildern bereitgestellt werden. Folglich wurden die Vorwärtsmodelle darauf trainiert, die Intensitätswerte von Bildpixeln korrekt einer von insgesamt 256 möglichen Klassen (also Intensitätswerten) von 8-Bit-Bildern zuzuordnen. Ein solches Modell ist rein datengesteuert und bezieht physikalische Gleichungen nicht explizit als Teil der Kostenfunktionen ein.

Inverse Modelle werden trainiert, indem Eingabe- und Ausgabedatensätze umgekehrt werden, die für das Vorwärtsmodelltraining verwendet wurden. Folglich zielten die inversen Modelle darauf ab, zu lernen, wie das ursprüngliche BVP-Bild aus seiner (FDM-)Lösung rekonstruiert werden kann.

Sowohl vorwärts gerichtete als auch inverse PINN-Modelle wurden unter Python 3.8 unter Verwendung von TensorFlow40 mit Keras API entwickelt. Darüber hinaus wurden einige Bildverarbeitungsvorgänge wie das Lesen und die Vorbereitung von Trainingsdaten mit PIL, NumPy41 und Scikit-image42 durchgeführt. Anschließend wurden die PINN-Modelle auf einer GPU-Maschine mit einem Linux-Betriebssystem (Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU mit 3,80 GHz) und einer NVIDIA RTX 3090-24GB-Grafikkarte trainiert. Bezüglich der Modelltrainingskonfiguration wurden vorbereitete Datensätze im Verhältnis 85:15 in Training und Validierung aufgeteilt, basierend auf unseren Erfahrungen und früheren Studien43,44. Die anfänglichen Gewichte des PINN-Modells wurden zufällig mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung von 0,05 definiert, wie von45 vorgeschlagen. Hier wird Adam Optimizer46 verwendet, um das Modell zu optimieren und die Leistung bei Trainingsdatensätzen zu verbessern. Dann wurden MC U-Net-Modelle für 500 Epochen mit 24 Faltungskanalfunktionen mit einer Lernrate von 0,0001 und einer Stapelgröße von 256 trainiert, und die MSE U-Net-Modelle wurden für 2000 Epochen mit 24 Faltungskanalfunktionen mit einer Lernrate von trainiert 0,0001 und eine Chargengröße von 128.

Die Vorhersagen von Vorwärts- und Invers-PINN-Modellen (\(I_{\text {PINN}}\)) werden durch direkten Vergleich mit Referenz-FDM-Lösungen (\(I_{\text {FDM}}\)) validiert. Um zulässige Unterschiede aufgrund der Rundung von Gleitkommawerten auf ganzzahlige Bildintensitäten zu berücksichtigen, wurden Unterschiede von bis zu einem Intensitätswert (d. h. Abweichungen von plus-minus einer Segmentierungsklasse) toleriert, d. h

Die Leistung von PINN-Modellen im Vergleich zu FDM-Lösungen wurde mithilfe herkömmlicher Ableitungen der Mehrklassen-Konfusionsmatrix bewertet, die in unserem Fall 256 Klassen (dh Intensitätswerte eines 8-Bit-Bildes) umfasst. Dieselben Metriken wurden zur Bewertung der MSE-U-Net-Modelle verwendet, da es sich bei den Ergebnissen um 8-Bit-Bilder handelt und die Pixelwerte auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet sind. Für jedes Testbild wurden insbesondere die Genauigkeit und der F1-Score bewertet:

wo Präzision und Sensibilität sind

Darüber hinaus wurden der mittlere absolute Fehler (MAE) und der mittlere quadratische Fehler (MSE) aller Bildpixel berechnet:

Dabei ist \(p_i^*\) der Ground-Truth-Wert auf dem i-ten Bildpixel und \(p_i\) der Vorhersagewert. Besonders große Ausreißer der PINN-Vorhersagen wurden durch Schwellenwertbildung der Differenz zwischen den FDM- und PINN-Lösungen lokalisiert:

Der Referenzsatz numerischer Lösungen der 2D-Laplace-PDE wurde mit der Finite-Differenzen-Methode generiert, wie im Abschnitt „Methoden“ beschrieben. Um die Genauigkeit des FDM-Lösers zu validieren, wurden numerische Lösungen mit der Grundlösung der 2D-Laplace-PDE verglichen, siehe Gl. (3). Zu diesem Zweck wurden analytische und numerische Lösungen für einen quadratischen Teilbereich \(\Omega\) des unendlichen Mediums \(\Omega _{\text {inf}}\) berechnet, der den Quellpunkt (\(|r) nicht enthält -r'|>0\,,\forall r(x,y) \in \Omega\)), wobei die Grundlösung ein singuläres Verhalten aufweist (\(u(r=r') \rightarrow \infty\)) , siehe Abb. 1. Die Validierung der FDM-Lösung im Vergleich zur fundamentalen Lösung der 2D-Laplace-PDE wurde nur für die inneren Punkte der Unterdomäne \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\) durchgeführt . Die Randwerte der Fundamentallösung \(u(r(x,y)),\,r(x,y)\in \Gamma\) haben wir als vorgeschriebene Randbedingungen für die nachfolgende Berechnung der FDM-Lösung innerhalb von \(r) verwendet (x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\). Die theoretische Grundlage für diesen Ansatz ist der Gaußsche Integralsatz, der besagt, dass die Lösung innerhalb eines geschlossenen räumlichen Bereichs eindeutig durch seine Randwerte definiert ist.

Die Validierung der FDM-Lösung im Vergleich zur analytischen (fundamentalen) Lösung der 2D-Laplace-PDE u(r(x, y)) wird für den quadratischen Teilbereich \(r(x,y)\in \Omega\) des unendlichen Mediums \ durchgeführt. (\Omega _{\text {inf}}\). Zur Validierung wurden nur innere Punkte (d. h. innere Bildpixel) \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\) berücksichtigt, während die Randwerte gleich der Grundlösung \(u(r( x,y))=u_{\text {fs}},~r(x,y)\in \Gamma\) und als Randbedingungen für die Berechnung der FDM-Lösung auf inneren Domänenknoten verwendet.

Abbildung 2 zeigt einen Vergleich der analytischen Lösung mit FDM, berechnet auf dem 128 \(\times\) 128 Bildraster der Subdomäne \(\Omega\). Wie man sieht, beträgt der absolute Unterschied zwischen der fundamentalen und der FDM-Lösung \(1\text {e-}5\) und erreicht sein Maximum in der Nähe des singulären Quellpunkts.

Vergleich der fundamentalen Lösung der 2D-Laplace-PDE mit einer numerischen Lösung, die mit dem FDM für einen 128 \(\times\) 128 Bildunterbereich berechnet wurde. Von links nach rechts: Diagramm der Fundamentallösung (FS) für eine 128 \(\times\) 128 abgetastete Teildomäne des unendlichen Mediums, Diagramm der FDM-Lösung, berechnet aus den FS-Werten, die an der Grenze des 128 \(\ mal\) 128 Bild, der Unterschied zwischen den grundlegenden und FDM-Lösungen.

Um die Auswirkungen der Bilddomänendiskretisierung und der Menge an Trainingsdaten auf die Ergebnisse der PINN-Modellleistung zu untersuchen, wurden neun Sätze von Referenz-BVP-Bildern und entsprechenden FDM-Lösungen generiert. Diese neun Datensätze bestehen aus 10.000, 40.000 und 70.000 BVP-Bildern (im Folgenden als 10.000-, 40.000- und 70.000-Datensätze bezeichnet) mit drei verschiedenen räumlichen Auflösungen (64 \(\times\) 64, 128 \(\times\) 128 , 256 \(\times\) 256), siehe Tabelle 2. Um die genaue Leistung von PINN-Modellen auf beliebigen BVPs zu ermöglichen, wurde eine große Variabilität in geometrischen Mustern und Randbedingungen bei der Generierung des Referenzsatzes von BVP-Bildern berücksichtigt. Dementsprechend wurde jeder Bildsatz durch die Kombination mehrerer Strategien zur Definition der geometrischen Muster (z. B. Punkte, Linien, Konturen und feste Formen) und der räumlichen Verteilung vorgeschriebener Werte (d. h. Randbedingungen), einschließlich Konstante, Gradient usw., generiert Zufallsverteilungen. Bei der Gradientenverteilung werden die Werte für die Pixel schrittweise von 25 bis 255 entlang verschiedener Richtungen zugewiesen. Beispiele für BVP-Bilder für drei verschiedene Arten von Randbedingungen (einschließlich Konstant-, Gradienten- und Zufallsverteilungen) sind in Abb. 3 dargestellt. Darüber hinaus wurden unterschiedliche Richtungen und Größen von Gradienten implementiert, um mögliche Verzerrungen in den Trainingsdaten zu vermeiden.

Beispiel für die BVP-Bildgenerierung. Von links nach rechts: Binärbild (dh geometrisches Muster) zur Definition von vorgeschriebenen (Dirichlet-), Konstanten-, Gradienten- und Zufallswertverteilungen, die auf demselben geometrischen Muster definiert sind.

Die Vorwärts-PINN-Modelle wurden trainiert, um FDM-Lösungen der 2D-Laplace-PDE unter Verwendung von neun Datensätzen aus Tabelle 2 zu emulieren, wie im Abschnitt „Methoden“ beschrieben. Beispiele für PINN-Modellvorhersagen basierend auf dem Trainingsdatensatz 4 aus Tabelle 2, einschließlich drei verschiedener Arten von BVPs, sind in Abb. 4 dargestellt. Insgesamt weisen PINN-Modellvorhersagen eine hohe Ähnlichkeit mit FDM-Lösungen für alle Arten von BVP-Bildern auf. Eine detaillierte Analyse zeigt jedoch erhebliche Unterschiede in den PINN-Leistungsmaßen zwischen verschiedenen BVP-Typen. Man kann beispielsweise sehen, dass die Modellleistung bei der Anwendung auf BVP-Bilder mit konstanten Randbedingungen und Gradientenrandbedingungen deutlich genauer ist als bei zufällig verteilten Randwerten in beiden Methoden, siehe ergänzende Abbildung S1. Im Fall des MC U-Net-Modells wurden deutliche Auswirkungen räumlicher Bildauflösungen auf das Modelltraining beobachtet. Insbesondere zeigte das MC U-Net-Modell innerhalb der ersten 50 Epochen nur dann eine frühe Überanpassung, wenn es auf 256 \(\times\) 256 trainiert wurde, nicht jedoch auf 64 \(\times\) 64 und 128 \(\times\) 128 BVP-Bilder. Dies lässt sich darauf zurückführen, dass die Abtastintervalle in 256 \(\times\) 256 FDM-Lösungen im Vergleich zu 128 \(\times\) 128 und 64 \(\times\) 64 FDM-Lösungen deutlich kleiner sind, was führt Dieses Modell ermöglicht die Erfassung weiterer Merkmale zusätzlich zu den hervorstechenden Merkmalen. Um dieses Problem zu beheben, wurde das Maxpooling stattdessen von 2 auf 4 erhöht, was zur Abschwächung des Problems beitrug, siehe ergänzende Abbildung S3. Dadurch übertreffen die MSE U-Net-basierten Modelle, die mit 10.000 Datensätzen trainiert wurden, das MC U-Net-Modell, das mit 70.000 Datensätzen trainiert wurde, welches das leistungsstärkste MC U-Net-Modell ist, siehe ergänzende Abbildung S1. Weitere Leistungskennzahlen für MC U-Net-Modelle finden Sie in den ergänzenden Materialien Abb. S4–S6. Die Leistungskennzahlen der Vorwärtsmodelle sind in Tabelle 3 dargestellt.

Beispielhafter Vergleich von FDM-Lösungen mit Forward-MSE-U-Net-Modellvorhersagen, trainiert auf 10.000 128 \(\times\) 128 Ground-Truth-Bildern. Von links nach rechts: (erste Spalte) Original-BVP-Bilder, (zweite Spalte) FDM-Lösungen der 2D-Laplace-PDE, berechnet aus BVP-Bildern, (dritte Spalte) Ergebnisse von Vorwärts-PINN-Modellvorhersagen, berechnet aus BVP-Bildern (erste Spalte), (vierte Spalte) die absolute Differenz zwischen FDM- (zweite Spalte) und vorwärts PINN-vorhergesagten BVP-Bildern (dritte Spalte). Von oben nach unten: Beispiele für Randbedingungen mit Gradienten (oben), konstanten (Mitte) und zufällig verteilten (unten). Der Farbverlauf gibt die Intensitätswerte und deren Differenz im Bereich von [0, 255] an.

Die inversen Modelle zielen darauf ab, das anfängliche BVP (d. h. spärlich besetzte Bilder) aus der Lösung der 2D-Laplace-PDE (d. h. geglättete Bilder) zu rekonstruieren. Die numerische Lösung inverser Probleme mit herkömmlichen Methoden ist oft eine nicht triviale Aufgabe. Im Rahmen der PINN-basierten PDE-Lösung wird diese Aufgabe trivial gelöst, indem die Richtung des Modelltrainings von Ziel- zu Quellbildsätzen umgekehrt wird, d. h. Eingabe- und Ausgabedaten, die für das Training von Vorwärtsmodellen verwendet werden, ausgetauscht werden. Beispiele für die Leistung des 128 \(\times\) 128 inversen Modells für verschiedene Arten von BVP-Problemen sind in Abb. 5 dargestellt.

Beispielhafter Vergleich von Original-BVP-Bildern mit inversen MSE-U-Net-Modellvorhersagen, die auf 10.000 128 \(\times\) 128 Ground-Truth-Bildern trainiert wurden. Von links nach rechts: (erste Spalte) Original-BVP-Bilder, (zweite Spalte) FDM-Lösungen der 2D-Laplace-PDE, berechnet aus BVP-Bildern, (dritte Spalte) Ergebnisse inverser PINN-Modellvorhersagen, berechnet aus FDM-Lösungen (zweite Spalte), (Vierer). Spalte) die absolute Differenz zwischen ursprünglichen (erste Spalte) und umgekehrt PINN-vorhergesagten (dritte Spalte) BVP-Bildern. Von oben nach unten: Beispiele für Randbedingungen mit Gradienten (oben), konstanten (Mitte) und zufällig verteilten (unten). Der Farbverlauf gibt die Intensitätswerte und deren Differenz im Bereich von [0, 255] an.

Validierung inverser PINN-Vorhersagen im Vergleich zu FDM. Von links nach rechts: (erste Spalte) ursprüngliches BVP-Bild, (zweite Spalte) FDM-Lösung der 2D-Laplace-PDE für die durch das ursprüngliche BVP-Bild gegebene Randbedingung, (dritte Spalte) Rekonstruktion des ursprünglichen BVP-Bildes aus der FDM-Lösung unter Verwendung der inverses PINN-Modell, (Viererspalte) FDM-Lösung der 2D-Laplace-PDE für die Randbedingungen, die durch das invers vorhergesagte BVP-Bild gegeben sind, (fünfte Spalte) Differenz zwischen FDM-Lösungen (zweite und Viererspalte), berechnet aus den ursprünglichen und invers vorhergesagten BVP-Bildern (erste und dritte Spalte). Von der oberen zur unteren Reihe: zufälliger BVP (oben), durchgezogen (Mitte) vs. BVP mit leerem Kreis (unten) mit denselben Grenzwerten. Trotz der Unterschiede zwischen Original- und invers rekonstruierten BVP-Bildern weisen ihre FDM-Lösungen keinen so großen Unterschied auf. Das inverse PINN-Modell wiederum kann aufgrund der prinzipiellen Mehrdeutigkeit inverser Lösungen ansonsten gleicher FDM-Bilder keine korrekten Werte innerhalb des leeren Kreises wiederherstellen. Die Farbkarte zeigt Intensitätswerte und deren Unterschiede im Bereich [0, 255]. Die F1-Werte zwischen den FDM-Lösungen des ursprünglichen BVP (zweite Spalte) und den FDM-Lösungen der inversen Vorhersage (vierte Spalte) betragen 99 % (obere Reihe), 100 % (mittlere Reihe) bzw. 100 % (untere Reihe).

Eine exakte Wiederherstellung der ursprünglichen Randbedingungen ist jedoch bekanntermaßen mit prinzipieller Unvollständigkeit verbunden, da unterschiedliche Randbedingungen manchmal zu recht ähnlichen Lösungen führen können. Bei beiden Ansätzen sind die vorhergesagten inversen Randbedingungen im Vergleich zu den ursprünglichen Randbedingungen spärlich und die FDM-Berechnung für die spärlich vorhergesagten Randbedingungen zeigt, dass die FDM-Lösungen der invers vorhergesagten Randbedingungen eine hohe Ähnlichkeit mit den Ground-Truth-FDM-Lösungen aufweisen, was die Aussage beweist , sehen. Abb. 6. Wie man aus der Zusammenfassung der Leistungsmetriken für inverse U-Net-Modelle in Tabelle 4 sehen kann, weisen sie einen wesentlich größeren MSE-Fehler auf als Vorwärtsmodelle, vgl. Tabelle 3. Es wurde beobachtet, dass die vorhergesagten Randbedingungen in den MSE-U-Net-Modellen spärlicher sind als in den MC-U-Net-Modellen. Daher weisen MSE-U-Net-Modelle im Vergleich zu MC-U-Net-Modellen niedrigere F1-Werte auf. Da die MSE U-Net-Modelle spärliche inverse Vorhersagen generieren, wurden weitere Analysen mit den MC U-Net-Modellen durchgeführt, siehe S2. Weitere Leistungskennzahlen für MC U-Net-Modelle finden Sie in der Ergänzungsabbildung S7–S9 und der Ergänzungstabelle S1.

Aus Sicht der Bildverarbeitung führt das inverse 2D-Laplace-Modell effektiv eine Art Unschärfe geglätteter Bilder durch. Abbildung 7 zeigt ein Beispiel für die inverse Rekonstruktion des Originalbilds aus seiner Gaußschen geglätteten Version mit \(\sigma =8\) und insgesamt 12 Iterationen unter Verwendung des inversen 128 \(\times\) 128 70k PINN-Modells. Geringe Unterschiede zwischen den ursprünglichen und invers rekonstruierten Bildern sind auf Unterschiede zwischen den Algorithmen für die inverse PINN-Rekonstruktion (2D-Laplace) und Bildglättung (2D-Gauß) zurückzuführen. Eine weitere Ursache für die Diskrepanz der inversen Vorhersage vom ursprünglichen BVP-Bild liegt in der prinzipiellen Mehrdeutigkeit inverser Lösungen, vgl. Abb. 6.

Beispiel für die Anwendung des inversen 128 \(\times\) 128 70k MC U-Net-Modells zur Entunschärfe eines Gaußschen geglätteten Bildes (\(\sigma =8\), 12 Iterationen). Von links nach rechts: Originalbild, Gauß-geglättetes Bild, das Ergebnis der Unschärfe des Gauß-geglätteten Bildes mithilfe des inversen PINN-Modells. Die Farbkarte zeigt Unterschiede zwischen dem Original und dem invers rekonstruierten Bild im Bereich zwischen [0, 255] an. Der F1-Score zwischen dem Originalbild und dem rekonstruierten Bild beträgt 67 %.

Analyse der Rechenleistung von PINN-Modellen im Vergleich zu FDM mit 500 zufällig ausgewählten BVP-Bildern aus den 128 \(\times\) 128 Validierungsdatensätzen, die Beispiele aller möglichen BVPs enthalten. Die durchschnittliche Zeit, die der PINN-Löser benötigt, wird mit der FDM-Lösung in Abhängigkeit von der Bildauflösung sowie der Anzahl der Knoten mit vorgeschriebener Randbedingung (z. B. Dirichlet-Pixel) verglichen, während er die Spärlichkeit der Steifigkeitsmatrix und ihre numerische Lösung mithilfe von PCG bestimmt. Eine Zusammenfassung der Rechenleistung von vorab trainierten PINN-Modellen im Vergleich zu FDM ist in Tabelle 5 und Abb. 8 dargestellt. Wie man sehen kann, ist die Berechnung von Lösungen der 2D-Laplace-PDE unter Verwendung von PINN-Modellen im Vergleich zu iterativen Lösungen unter Verwendung von PINN-Modellen viel effizienter FDM. Selbst wenn man bedenkt, dass die Rechenzeit von FDM von der Anzahl der Dirichlet-Pixel bei gleicher Bildgröße abhängt, hat dies keinen großen Einfluss. Mit zunehmender Bildauflösung wächst die Rechenleistung von FDM deutlich schneller im Vergleich zu PINN-Modellen, die die Berechnung von Bildern mit einer Größe von bis zu 256 \(\times\) 256 in weniger als 1 s durchführen.

Vergleich der rechnerischen PINN-Leistung mit FDM für 256 \(\times\) 256 Bilder. Links: verstrichene Zeit von PINN-Vorhersagen (rot) im Vergleich zu FDM-Lösungen (blau) in Sekunden für 500 Test-BVP-Bilder. Rechts: Verstrichene Zeit von PINN- vs. FDM-Lösungen abhängig von der Anzahl der Pixel mit vorgeschriebenen Werten (Dirichlet-Pixel). Die Abhängigkeit der Rechenzeit von der Anzahl der Dirichlet-Pixel ist mit zusätzlichem Aufwand für die Umsetzung vorgegebener Grenzwerte verbunden.

Unser 2D-Laplace-PINN-Solver wurde als ausführbares Demo-Tool implementiert, das unter Windows- und Linux-Betriebssystemen mit einem einfachen Befehlszeilenaufruf ausgeführt werden kann: model.exe . Es kann zusammen mit Beispielbildern unter https://ag-ba.ipk-gatersleben.de/Lap2Dpinn.html heruntergeladen werden.

In dieser Studie haben wir zwei PINN-Modelle zur Lösung beliebiger 2D-Laplace-Randwertprobleme entwickelt und untersucht, die auf 8-Bit-Bildern definiert sind. Unsere experimentellen Ergebnisse zeigten, dass PINN-Modelle, die auf einer großen Menge von Referenz-FDM-Lösungen trainiert wurden, in der Lage sind, Lösungen neuer, bisher nicht gesehener vorwärts gerichteter und inverser 2D-Laplace-BVPs mit bemerkenswert hoher Genauigkeit, aber im Vergleich zu FDM in viel kürzerer Rechenzeit realistisch vorherzusagen.

Um einen großen Bereich von Randwertproblemen abzudecken, wurden PINN-Modelle auf verschiedene Arten von Randwertproblemen trainiert. Während alle diese Arten von BVPs mathematisch zulässig sind, scheinen einige von ihnen physikalisch bedeutsamer zu sein (konstante Randbedingungen oder Gradientenrandbedingungen) als andere (zufällig verteilte Randwerte). Unter diesem Gesichtspunkt ist es nicht verwunderlich, dass die Genauigkeit bei der Vorhersage physikalisch aussagekräftigerer BVPs höher ist als bei zufälligen Randbedingungen. Im Allgemeinen hängt die Auswahl geeigneter BVP-Typen vom konkreten physikalischen Problem ab, im Fall der 2D-Laplace-PDE scheinen jedoch zufällige Randbedingungen physikalisch nicht relevant zu sein.

Es erweist sich, dass sowohl vorwärts gerichtete als auch inverse 2D-Laplace-BVPs mithilfe von PINN-Modellen auf nicht-iterative Weise mit bemerkenswerter Genauigkeit lösbar sind. Ein Vergleich der Leistung von Vorwärts- und Invers-PINN-Modellen zeigt jedoch, dass Vorwärtsmodelle genauere Vorhersagen machen als Inversmodelle. Dies ist jedoch nicht überraschend, da unterschiedliche Randbedingungen zu ähnlichen Lösungen führen können. Für das PINN-Modelltraining wurden zwei alternative Verlustfunktionen verwendet. Im Fall von Vorwärts-PINN-Modellen zeigen die mit der MSE-Verlustfunktion trainierten U-Net-Modelle eine etwas bessere Leistung im Vergleich zu den Mehrklassen-U-Net-Modellen, die mit den SCE-Verlustfunktionen trainiert wurden. Dies wurde jedoch bei inversen Vorhersagen nicht beobachtet, was auf die prinzipielle Mehrdeutigkeit der inversen Lösungen und größere Fehler im Vergleich zu Vorwärtslösungen zurückzuführen ist47. Aufgrund der Beschränkung des SCE-Maßes auf ganzzahlige Klassen hat die MSE-Verlustfunktion jedoch ein allgemeineres Anwendungsspektrum. Die Auswertung der PINN-Modellvorhersagen erfolgte anhand verschiedener Metriken. Allerdings ist, wie bereits aus früheren Arbeiten bekannt, die Quantifizierung der Genauigkeit mit dem F1-Score-Maß vorteilhafter, insbesondere bei ungleichmäßigen Verteilungen, wie insbesondere bei inversen Problemen mit dünn besetzten Randbedingungen. Die in dieser Arbeit entwickelten PINN-Modelle verwenden rohe Eingabebilder und erfordern keinen weiteren Aufwand für die Domänendiskretisierung, den Zusammenbau des linearen Gleichungssystems und seine iterative Lösung. Diese Eigenschaften machen sie zu einem effizienten und benutzerfreundlichen Werkzeug zur einfachen Anwendung, insbesondere bei interdisziplinären Problemen. Allerdings gibt es immer noch bestimmte technische (z. B. GPU-)Einschränkungen hinsichtlich der Größe der Bilddomänen, für die PINN-Modelle trainiert werden können. Auch wenn diese technischen Hürden in Zukunft überwunden werden können, scheint eine weitere Untersuchung von PINN-Lösungstechniken, die auf unstrukturierten Punktwolken basieren48, von allgemeinem Interesse zu sein.

Die aktuelle Arbeit stellt eine Machbarkeitsstudie mit Anwendung auf das 2D-Laplace-Problem dar, das auf dem ganzzahligen Bildbereich definiert ist. Erweiterungen des PINN-Ansatzes auf eine allgemeinere Klasse von Gleitkommawert- und/oder mehrdimensionalen BVPs unter Verwendung einer allgemeineren MSE-Verlustfunktion sind unkompliziert. Weitere Untersuchungen sind erforderlich, um die prinzipiellen Fähigkeiten und Genauigkeitsgrenzen der vorgeschlagenen PINN-Ansätze durch Anwendung auf andere bild- und physikbasierte Randwertprobleme zu analysieren.

Ergänzende Informationen mit Beispielbildern liegen diesem Manuskript bei. Weitere Datensätze, die während der aktuellen Studie verwendet und analysiert wurden, sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

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Diese Arbeit wurde vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) im Rahmen des AVATARS-Projekts (FKZ 031B0770A) gefördert.

Open-Access-Förderung ermöglicht und organisiert durch Projekt DEAL.

Leibniz-Institut für Pflanzengenetik und Kulturpflanzenforschung, OT Gatersleben, Corrensstr. 3, 06466, Seeland, Deutschland

Anto Nivin Maria Antony, Narendra Narisetti und Evgeny Gladilin

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ANMA und NN führten die rechnerischen Experimente durch, analysierten die Daten, verfassten das Manuskript, bereiteten Abbildungen und Tabellen vor und überprüften die Entwürfe des Papiers. EG konzipierte und überwachte Untersuchungen, führte rechnerische Analysen durch, bereitete Zahlen vor und verfasste und überprüfte das Manuskript. Alle Autoren stimmten dem Manuskript in seiner vorliegenden Form zu.

Korrespondenz mit Anto Nivin Maria Antony oder Evgeny Gladilin.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Maria Antony, AN, Narisetti, N. & Gladilin, E. FDM-datengesteuertes U-Net als 2D-Laplace-PINN-Löser. Sci Rep 13, 9116 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

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Eingegangen: 18. August 2022

Angenommen: 19. Mai 2023

Veröffentlicht: 05. Juni 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

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